5小时前 直观理解机器人零空间

出品：机器人技术笔记

零空间在机器人控制里应用很广。冗余机器人控制、HQP 分层二次规划优化等问题，都会碰到它。

零空间，可以先理解成这样：系统内部在变化，我们关心的输出却没有变化。放到机械臂上，就是一些关节仍在转动，但末端的位置和朝向可以保持不变。机器人可以利用这部分额外的运动，调整自身姿态，同时继续完成原来的任务。

可这个词听着就很专业。查资料，迎面而来的往往是线性代数、子空间和一串高维矩阵。这些定义没有错，只是很难在脑中形成画面。

其实事情没这么复杂。想象一个三维空间里的物体，怎样投影到二维平面就够了。

桌面投影，丢掉了哪个方向

把一支笔放在桌面上方，只看笔尖向桌面的垂直投影。笔尖在空间里有三个坐标 x、y、z，投影点在桌面上只有 x、y 两个坐标。

图 1：笔尖的三维位置被映射为桌面上的二维投影点。

这里说的是一个理想的正交投影：保留 x、y，丢掉高度 z。这就是从三维空间到二维空间的映射。

如果笔尖沿着桌面方向运动，它的 x 和 y 变了，桌面上的投影点也会跟着动。空间里的动作，这时可以在低一维的桌面上看见。

图 2：笔尖沿桌面方向运动，投影点也发生位移。

那么，有没有一种动作，笔尖明明在三维空间里运动，桌面上的投影点却始终不动？

有。让笔尖垂直桌面上下运动。

此时笔尖的高度 z 在变，x、y 没变。三维空间中的速度不为零，可映射到二维桌面之后，投影速度正好是零。

图 3：笔尖在空间中有速度，桌面投影速度为零，这个垂直方向就是投影映射的零空间。

零空间最直观的理解就在这里：输入在动，映射结果却不动。所有能产生这种结果的运动方向，放在一起就是这个映射的零空间。

3 维到 2 维，公式里是什么样？

把刚才的动作写成速度映射，只需要一个 2×3 的矩阵：

矩阵 P 把三维速度变成二维投影速度。它保留前两个分量，对第三个分量完全没有反应。

当 ẋ、ẏ 为零，但 ż 不为零时，左边仍然是零。因此，这个投影矩阵的零空间是：

它是三维空间里的一条直线，就是垂直桌面的方向。矩阵 P 的秩是 2，输入维数是 3，所以零空间的维数是 3−2=1。

到这一步，高维子空间已经有了一个可以看见的样子。

换成 7 关节机械臂，这个画面还能沿用

机器人末端在空间中的瞬时运动通常用 6 个分量表示：3 个平动速度，再加 3 个转动速度。像 Franka Research 3 和 KUKA LBR iiwa 这类常见的上肢操作平台，机械臂有 7 个关节轴。[4][5]

于是，它面对的是一个很像笔尖投影的问题：输入是 7 维关节速度，输出是 6 维末端速度。

图 4：7 维关节速度通过雅可比矩阵映射为 6 维末端速度（3 平动＋3 转动）。

这个速度映射由雅可比矩阵表示：[1]

其中，q̇ 是 7 个关节速度，V 是末端的 6 维速度，J(q) 是当前机械臂姿态下的雅可比矩阵。它有 6 行、7 列。

如果关节在动，但末端的 6 维速度为零，就有：

这句话和笔尖垂直桌面运动是一回事。机械臂的关节在动，可映射到末端任务空间后，速度消失了。这些关节速度就属于雅可比矩阵的零空间。

注意，零空间位于 7 维关节速度空间里，不是位于 6 维末端速度空间里。在雅可比满行秩的普通姿态下，它的零空间维数是：

这个多出来的一维自由度，让机械臂在末端保持不动时，仍然可以调整内部姿态。你自己的手臂也能做出类似动作：把手掌的位置和朝向尽量保持不变，肘部还能在一定范围内绕动。[2]

图 5：末端位置和朝向保持不变时，7 关节机械臂仍可沿零空间调整内部姿态。

这多出来的一维不是摆设。末端继续跟踪目标时，机械臂可以利用它远离关节限位、躲避障碍，或者把肘部调到更合适的姿态。在任务优先级控制里，这就是让低优先级动作不干扰高优先级任务的基本思路。

用伪逆把它写成通用的关节速度解，可以看得更清楚：

前一项让末端完成期望速度 V_d；后一项把任意关节速度 z 投到零空间里。因为 JN=0，后一项不会改变末端的瞬时速度。

还有一个容易忽略的边界。零空间运动说的是当前姿态下的瞬时速度；关节一动，雅可比矩阵也会变，控制器需要不断重新计算。关节限位、自碰撞和奇异姿态还会继续压缩实际可用的动作。在奇异姿态下，雅可比的秩降低，零空间的维数可能增加，但这不代表机器人变得更灵活；它同时也失去了某些末端运动方向。[2]

回到开头那支笔，零空间就是竖直于桌面的那个方向：笔尖在动，投影不动。放到机器人上，只是把三维换成了七维，把桌面投影换成了六维末端速度而已。这样理解，零空间就可以脱离抽象的数学推导，成为直观的概念。